{"id":408,"date":"2017-08-12T07:17:56","date_gmt":"2017-08-12T07:17:56","guid":{"rendered":"http:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/?p=408"},"modified":"2022-03-21T20:54:22","modified_gmt":"2022-03-21T20:54:22","slug":"die-bbc-frauen-geld-und-statistik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/2017\/08\/12\/die-bbc-frauen-geld-und-statistik\/","title":{"rendered":"Die BBC, Frauen, Geld und Statistik"},"content":{"rendered":"

Im diesj\u00e4hrigen Jahresbericht1<\/a><\/sup> musste die BBC auch die Geh\u00e4lter der Topverdiener ausweisen. Die in einzelnen F\u00e4llen recht \u00fcppigen Betr\u00e4ge stie\u00dfen dabei durchaus auf Verwunderung; einzelne \u201eStars\u201c2<\/a><\/sup> verdienen zwischen \u00a3500,000 und \u00a32,500,000.<\/p>\n

Die gelisteten Zahlungen verursachten einigen Unmut. Auch im Hinblick auf die augenscheinlich schlechtere Bezahlung von Frauen gegen\u00fcber M\u00e4nnern. Dieser Ungleichheit wollte ich mit statistischen Methoden nachsp\u00fcren.<\/p>\n

F\u00fcr eine Untersuchung habe ich zun\u00e4chst die Geh\u00e4lter3<\/a><\/sup> (in Millionen \u00a3), nach Geschlecht aufgeteilt, in Listen erfasst. Bei den M\u00e4nnern findet man folgende Zahlen (\"m=74\" Werte):<\/p>\n

0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.275, 0.275, 0.275, 0.275, 0.275, 0.275, 0.275, 0.275, 0.325, 0.325, 0.375, 0.375, 0.375, 0.425, 0.425, 0.425, 0.425, 0.425, 0.475, 0.525, 0.575, 0.625, 0.725, 0.875, 1.775, 2.225<\/code><\/p>\n

Und nun bei den Frauen (\"n=34\" Werte):<\/p>\n

0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.225, 0.275, 0.275, 0.325, 0.325, 0.375, 0.375, 0.375, 0.475<\/code><\/p>\n

Wenn man sich die Zahlen ein wenig ansieht, kommt man m\u00f6glicherweise zu der Vermutung: Frauen verdienen schlechter als M\u00e4nner. Um eine solche Hypothese statistisch zu st\u00fctzen, muss die zugeh\u00f6rige Nullhypothese \u201e\"H_0\": Frauen verdienen genauso viel wie M\u00e4nner\u201c verworfen werden. Durch die zun\u00e4chst formulierte Alternative \"H_1\" ergibt sich damit ein linksseitiger Test. \"H_0\" wird zugunsten von \"H_1\" verworfen, wenn die Beobachtungen signifikant vom erwarteten Ergebnis abweichen.<\/p>\n

Eine Stichprobe ist kein Schl\u00fcssel zur Wahrheit. Das Risiko, f\u00e4lschlicherweise die Nullhypothese zu verwerfen, wird aber h\u00e4ufig auf \"\alpha = 5\%\" (dem sogenannten Signifikanzniveau) festgelegt. Damit ergibt sich ein sogenanntes confidence level<\/em> von 95%.<\/p>\n

Auf die obigen Daten lassen sich zum Beispiel die beiden folgenden Tests anwenden:<\/p>\n

1. Mediantest<\/h1>\n

Bei einem Mediantest betrachtet man zun\u00e4chst den Median der Kontrollwerte. Beim Median handelt es sich um ein Lagema\u00df, \u00e4hnlich dem arithmetischen Mittel. Man betrachtet dazu eine Rangliste der Werte und w\u00e4hlt den in der Mitte stehenden Wert. Ist die Anzahl gerade, bildet man den Mittelwert der beiden in der Mitte stehenden Werte. Man kann den Median auch 50%-Quantil nennen: jeweils die H\u00e4lfte der \u00fcbrigen Beobachtungen sind unterhalb dieses Wertes. In \u00e4hnlicher Weise kann man von z.B. ein 10%-Quantil definieren.<\/p>\n

\n
\n

Beispiele f\u00fcr den Median<\/h2>\n

Die beiden Datenreihen haben den gleichen Median \"x_\text{med}=5\", ihr arithmetisches Mittel \"\overline{x}\" unterscheidet sich aber deutlich:
\n1, 1, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 14<\/code>   \"\overline{x} = 5\"
\n1, 1, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 41<\/code>   \"\overline{x} = 8\"<\/p>\n

Ist beispielsweise der Mittelwert f\u00fcr die zweite Reihe ein Wert, der die Daten wiedergibt? Vom letzten Wert abgesehen, sind ja alle Daten kleiner. Der Median gibt in vielen F\u00e4llen eine besseren Eindruck davon, wo die Beobachtungen liegen. Sogenannte \u201eAusrei\u00dfer\u201c (also Werte, die stark aus den Beobachtungen herausfallen), haben quasi keinen Einfluss darauf.<\/p><\/div>\n<\/div>\n

Der Median bei den Geh\u00e4ltern der M\u00e4nner betr\u00e4gt 0.225<\/code> also \u00a3225,000. Nun pr\u00fcft man, wieviele Werte in der zweiten Datenreihe \u00fcber diesem Median liegen. Werte, die genau dem Median entsprechen, werden halb gez\u00e4hlt. Mit acht Werten \u00fcber dem Median und acht mal dem Median selbst kommt man damit auf \"8 + \frac{8}{2} = 12\" Werte.<\/p>\n

Ausgehend davon, dass es rein vom Zufall abh\u00e4ngen k\u00f6nnte, ob ein Gehalt der zweiten Reihe \u00fcber oder unter dem Median der ersten Reihe liegt, hat man eine einfache Binomialverteilung mit \"n=34\" und \"p=0{,}5\". Die Wahrscheinlichkeit, dabei 12 oder weniger Treffer zu beobachten, betr\u00e4gt:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ P(X\leq12) = \sum\limits_{k=0}^{12} {34 \choose k} \cdot 0{,}5^{34} \approx 0{,}0607 = 6{,}07\% > \alpha = 5\% \]\"<\/p>\n

Auf dem gew\u00e4hlten Signifikanzniveau kann die Nullhypothese also gerade nicht verworfen werden, sondern der Mediantest sieht die Nullhypothese best\u00e4tigt: M\u00e4nner und Frauen verdienen gleich.<\/p>\n

Dieser Test ist allerdings wegen der vielen gleichen Daten nur bedingt zu gebrauchen. Gerade die h\u00e4ufige Vorkommnis von \"0.225\" in beiden Reihen sorgt hier f\u00fcr Bewertungsprobleme.<\/p>\n

2. Wilcoxon-Rangsummenstatistik<\/h1>\n

Eine andere M\u00f6glichkeit, die Daten zu bewerten, bietet der Wilcoxon-Rangsummentest. Die Idee dahinter ist die folgende: wenn man die Werte aus der zweiten Reihe in die erste einsortiert, hat die Verteilung dann einen signifikanten \u201eSchlag\u201c, werden die Werte also eher gleichm\u00e4\u00dfig \u00fcber die Reihe verteilt, oder deutlich mehr an einem der beiden Enden? Man kann sich vorstellen, dass man aus einem Kartenstapel einige Karten entfernt hat und diese nun wieder in den Stapel einf\u00fcgt. Dies kann sich einigerma\u00dfen \u00fcber den ganzen Stapel verteilen oder eine der Seiten bevorzugen.<\/p>\n

Bei der Einsortierung z\u00e4hlt man dann f\u00fcr jeden Wert, wieviele sich aus der ersten Reihe darunter befinden. <\/p>\n

Die Nullhypothese wird hier verworfen, wenn f\u00fcr die Statistik \"W\", die ich hier mit dem Statistik-Programm R4<\/a><\/sup> berechnet habe gilt: <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ W < w_{34;74;5\%} \approx \frac{mn}{2} - \sqrt{ \frac{mn(m+n+1)}{12} } \cdot z_{1-\alpha} \]\"<\/p>\n

Die verwendete Gr\u00f6\u00dfe \"z_{1-\alpha} \approx 1{,}64\" findet man in einer Tabelle zur Standardnormalverteilung. Damit erh\u00e4lt man:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ w_{34;74;5\%} \approx 1010\]\"<\/p>\n

Die R-Ausgabe ist:
\n> women <- c(0.375, 0.275, 0.175, 0.175, 0.325, 0.325, 0.225, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.225, 0.175, 0.275, 0.225, 0.175, 0.175, 0.225, 0.375, 0.225, 0.225, 0.225, 0.175, 0.175, 0.475, 0.375, 0.225, 0.175, 0.175, 0.175)<\/code>
\n> men <- c(2.225, 0.875, 0.725, 0.525, 0.375, 0.275, 0.225, 0.225, 0.425, 0.425, 0.375, 0.325, 0.275, 0.275, 0.175, 0.175, 0.175, 1.775, 0.425, 0.275, 0.225, 0.225, 0.175, 0.175, 0.175, 0.225, 0.225, 0.175, 0.625, 0.275, 0.175, 0.475, 0.425, 0.425, 0.275, 0.275, 0.225, 0.375, 0.175, 0.175, 0.225, 0.225, 0.175, 0.575, 0.275, 0.225, 0.225, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.225, 0.225, 0.175, 0.175, 0.325, 0.225, 0.225, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175, 0.175)<\/code>
\n> wilcox.test( women, men, alternative = \"less\" )<\/code><\/p>\n

    Wilcoxon rank sum test with continuity correction<\/code><\/p>\n

data: women and men
\nW = 1084, p-value = 0.2222
\nalternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
\n<\/code><\/p>\n

Mit dem ausgegebenen \"W=1084>1010\" kommt man auch bei diesem Test zu dem Schluss, dass die Nullhypothese anzunehmen ist, die Alternative \"H_1\" wird verworfen. Der Test st\u00fctzt also wiederum die Hypothese, dass M\u00e4nner und Frauen gleich verdienen.<\/p>\n

Schlussbemerkungen<\/h1>\n

Bei einem anderen Signifikanzniveau von z.B. \"\alpha = 10\%\" f\u00fchrt der erste der beiden Tests genau zur gegenteiligen Aussage. Das mag willk\u00fcrlich (und auch widerspr\u00fcchlich) erscheinen, aber: kein statistischer Test ist ein Schl\u00fcssel zur Wahrheit. Die Steigerung des Signifikanzniveaus f\u00fchrt dann allerdings dazu, dass man ein h\u00f6heres Risiko eingeht, die Nullhypothese f\u00e4lschlicherweise zu verwerfen.<\/p>\n

In jedem Fall l\u00e4sst sich auf Grundlage der vorliegenden Daten in keiner Weise eine sichere Aussage dar\u00fcber treffen, dass Frauen bei der BBC schlechter bezahlt werden als M\u00e4nner. Auch man bei Anblick der Daten den naheliegenden Verdacht hat. Im Vergleich dazu: W\u00e4re man mit einer Sicherheit von 95% (oder auch 99%) einverstanden, dass ein konsumiertes Lebensmittel keine Gesundheitssch\u00e4den verursacht?<\/p>\n

\n
<\/div>\n
    \n
  1. BBC Annual Report and Accounts 2016\/17<\/a> ↩<\/a><\/span><\/li>\n
  2. On a very personal note: Dear John Humphrys, in my humble opinion you are worth every penny ↩<\/a><\/span><\/li>\n
  3. Alle Geh\u00e4lter sind in Klassen aufgef\u00fchrt. War z.B. \u00a3150,000-\u00a3199,000 angegeben, so wurde als Wert dann \u00a3175,000 gew\u00e4hlt ↩<\/a><\/span><\/li>\n
  4. www.r-project.org<\/a> ↩<\/a><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Im diesj\u00e4hrigen Jahresbericht1 musste die BBC auch die Geh\u00e4lter der Topverdiener ausweisen. Die in einzelnen F\u00e4llen recht \u00fcppigen Betr\u00e4ge stie\u00dfen dabei durchaus auf Verwunderung; einzelne \u201eStars\u201c2 verdienen zwischen \u00a3500,000 und \u00a32,500,000. Die gelisteten Zahlungen verursachten einigen Unmut. Auch im Hinblick auf die augenscheinlich schlechtere Bezahlung von Frauen gegen\u00fcber M\u00e4nnern. Dieser Ungleichheit wollte ich mit statistischen … Read more<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[4],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/408"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=408"}],"version-history":[{"count":35,"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/408\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":464,"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/408\/revisions\/464"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=408"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=408"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rechenschieber-mainz.de\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=408"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}